EPGS Nº10 ONG LA PORTUARIA

Trabajo Práctico N° 1

EL PLANO CARTESIANO O EJES CARTESIANOS

Es un método matemático para ubicar objetos en el plano mediante el uso de ejes y coordenadas.

Para ubicar puntos en el plano es necesario usar dos referencias. Cada una de ellas se llama coordenada.

La primera coordenada suele marcarse en el eje horizontal y se la denomina coordenada “X” o abscisa.

La otra coordenada es la coordenada “y” u ordenada y se marca en el eje vertical. La ubicación del par (a;b) está determinada por la intersección entre la ubicación a en el eje x y la ubicación b en el eje y. Por ejemplo si el par es (2; 4):

El par de puntos (2; 4) se denomina par ordenado; la primera componente se llama ordenada, y corresponde a x; la segunda se llama ordenada, y corresponde a y.

Concepto de Función.

Una función es una relación en la que a cada elemento de la variable independiente le corresponde un solo elemento de la variable dependiente.

Una función se puede representar gráficamente en un sistema de ejes cartesianos. En el siguiente gráfico se indica la distancia recorrida en función del tiempo:

En el gráfico de una función, la variable independiente se ubica sobre el eje x y la dependiente, sobre el eje y. En este gráfico la variable independiente sería el tiempo y la variable dependiente la distancia recorrida.

Los valores que toma la variable independiente forman el conjunto dominio y los valores que toma la variable dependiente forman el conjunto imagen.

Formas de expresar una función

Una función puede expresarse mediante distintas maneras:

a) Un Enunciado

Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.

Por ejemplo:

El perímetro de un rectángulo es función de sus lados, base y altura. De forma que la base de este rectángulo es el doble de la altura.

b) Una tabla

Una función se expresa a través de una tabla cuando se dan algunos valores de la variable independiente x con los correspondientes a la variable dependiente y.

Por ejemplo:

Tiempo en horas	1	2	3	4
Espacio recorrido	120	240	360	480

c) Una Gráfica:

Una función se expresa a través de una gráfica cuando se representan los pares (x, y) en un sistema de ejes cartesianos. Como por ejemplo:

d) Una Fórmula:

Una función se expresa a través de una fórmula o expresión algebraica cuando se da una ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables que intervienen.

Como por ejemplo:

Un tren lleva una velocidad constante de 120 km/h, entonces la correspondencia entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido es una función expresada mediante la fórmula: e= 120.t

Funciones Afines y Funciones Lineales. Diferencia entre ambas funciones

Las funciones lineales, son aquellas funciones de proporcionalidad directa, es decir son aquellas funciones en las cuales las variables aumentan o disminuyen de manera proporcional (si aumenta una variable la otra también o si disminuye una la otra lo hace de la misma manera). Estas funciones son de la forma F(x)= ax O y= ax. Se llaman también funciones de proporcionalidad directa.

En cambio las funciones afines son aquellas de la forma F(x)= ax+b, donde tenemos el valor b, además de la constante “a” que multiplica a la “x”.

A estas funciones le corresponde gráficamente una recta. La forma de la ecuación de una recta es F(x)= “a”. x + “ b” o y = “a” . x + “b” (Forma explícita). Donde “a” y “b” son dos números reales cualesquiera (Pero “a” debe ser distinto de 0).

Para comenzar a graficar Rectas, vamos a ir a un caso sencillo: y= 2x + 1

Donde “a” vale 2 y “b” vale 1. Preparemos una tabla de valores: La tabla de valores tiene 2 columnas:

ü En la primer columna, inventamos los valores que le damos a la x. La variable x es independiente.

ü En la segunda columna, calculamos los valores que va tomando y según cada valor de x. La variable y se llama variable dependiente.

Si x vale	Entonces y vale:
1	3 Reemplazamos la “X” por 1 y calculamos lo que vale “Y”

Comencemos asignándole a x el valor 1…

Partimos de la fórmula de la ecuación de la recta:

y = 2.x +1 si x = 1 y = 2. 1 + 1 = 3

Y probando con otros puntos:

Si x vale	Entonces y vale:	Para calcular la variable “Y” siempre reemplazamos “x” por el número que elegimos en cada fila.
1	2 . 1 + 1 = 3
0	2 . 0 + 1 = 1
-2	2 . (-2) + 1 = -3

Graficamos los puntos de la tabla:

Por último, unimos estos puntos y tenemos ya graficada la recta.

Bueno, hasta acá, vimos cómo graficar una recta haciendo la tablita de valores, esto siempre es válido, incluso para graficar cualquier función, pero en el caso de las rectas vamos a ver ahora una manera más directa y rápida de graficarlas, para eso veamos primero en detalle la “ecuación implícita de la recta”.

La ECUACIÓN EXPLÍCITA de una recta tiene la forma: y = a.x+b

“a” es un número real al que llamamos pendiente de la recta.

“b” es otro número al que llamamos ordenada al origen.

Pendiente y Ordenada al origen: Vamos a ver ahora cómo graficar estas rectas en función del significado de la letras “a” y “b” o sea de la pendiente y la ordenada al origen de las rectas.

La Ordenada al Origen: Es el valor que toma “y” cuando “x=0” y este valor nos indica donde la recta corta al eje Y. (En la fórmula general la expresaremos como “b”)

La recta que graficamos antes era y= 2.x + 1 Ordenada al origen= 1 (corta al eje Y en 1)

Ordenada al Origen

La Pendiente: Este valor lo que nos indica es la inclinación de la recta (En la fórmula general la expresamos como “a”)…

Veamos como graficar una recta a partir de su pendiente.

Ejemplo: Grafiquemos la recta: y = 1/4.x-1

Lo primero que hacemos es ubicar la ordenada al origen, porque sabemos que la recta va a cortar al eje Y en ese punto, por lo tanto ya tenemos un punto de partida para graficar la recta.

Marcamos entonces el -1 sobre el eje Y (y a partir de ese punto ubico otro punto según la pendiente)